Free Hot Gay Games Online

numbers and succession: metamathematical reflections, historical and educational activities on a song Leopardi (3)

3. The intuitionistic setting: numbers and counting


We therefore refer in this paragraph, setting
intuitionistic arithmetic (5) by RL Goodstein (1957). Use the following symbols:
counting operator N
a, b, ..., l, ... objects
a & b, a & b & c, ..., L, L & a, ... sets of objects
recursively define the act of counting (6):
N (l) = 1
N (L & l) = N (l) +1
Let S be the operator leads to the conclusion that the successor (denoted by Sx
ie the successor of x).
The usual addition operation:
(a, b) → a + b
è definita ricorsivamente da:
x+0 = x
x+Sy = S(x+y)
Ad esempio, per determinare 6+3 si procede nel modo seguente:
6+0 = 6
6+1 = 7
6+2 = (6+1)+1 = 7+1 = 8
6+3 = (6+2)+1 = 8+1 = 9
La moltiplicazione:
(a; b) → F1(a; b) = a·b
è definita ricorsivamente da:
F1(x; 0) = 0


F1(x; Sy) = x+F1(x; y)
È quindi possibile una definizione ricorsiva di altre operazioni. Per ogni n
naturale, n≥2, definiamo ricorsivamente le operazioni:
Fn(x; 0) = 1
Fn(x; Sy) = Fn–1[x; Fn(x; y)]
Ad esempio, per n = 2 si ottiene la definizione ricorsiva di F2(a; b) = ab
(operazione di esponenziazione) (7):
F2(x; 0) = 1
F2(x; Sy) = F1[x; F2(x; y)] = x·xy
Per n = 3 si ottiene la definizione ricorsiva di un'operazione non usuale, che
possiamo indicare mediante la posizione F3(a; b) = ba:
F3 (x, 0) = 1
F3 (x, Sy) = F2 [x, F2 (x, y)] = (yx) x
It eg
F3 (x 1) = 1x = x
F3 (x, 2) = 2x = x ^ x
F3 (x 1) = 3x = x ^ x ^ x