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numbers and succession: metamathematical reflections, historical and educational track on a leopard ( 2)

2. A look at history:
set of Peano axioms
From a historical perspective, says N. Bourbaki:
"Before the nineteenth century, it seems there has been no attempt to define the addition
and multiplication of natural numbers if relying
direct intuition; Leibniz is the only one who, true to its principles, is
expressly noted that the "obvious truth" as 2 +2 = 4 are also likely
demonstration if we reflect on the definitions of numbers that will appear
, he did not consider it as a given the
commutativity of addition and multiplication. But no further than his reflections on
this regard, and in the mid-nineteenth century, no progress had yet been reached
"(Bourbaki, 1963).
With the work on the concept of number (1891), Giuseppe Peano (1858-1932),
rielaborando alcune idee introdotte da Wilhelm Richard Dedekind (1831-1916)
nello scritto Was sind und was sollen die Zahlen? (1888), propose un'introduzione
assiomatica dell'aritmetica basata su tre concetti primitivi (l'unità, che in
una seconda stesura fu sostituita con lo zero; il numero; il successivo) e su sei
assiomi (definitivamente enunciati nel 1898 in Aritmetica, la II parte del II vol.
del Formulaire de mathematiques: Peano, 1908, p. 27; Kennedy, 1983):

Assioma zero. I numeri formano una classe (2).
Assioma I. Lo zero è un numero.
Assioma II. Se a è un numero, il suo successivo a+ è un numero.
Assioma III. Se s è una classe contenente lo zero e, per ogni a, se a appartiene
a s, il successivo a+ appartiene a s,; allora ogni numero naturale è in s
("principio di induzione": si tratta in effetti di uno schema di assiomi: Chang &
Keisler, 1973) (3).
Assioma IV. Se a e b sono due numeri e se i loro successivi a+, b+ sono uguali,
allora a e b sono uguali.
Assioma V. Se a è a number, its following + is not zero.
The second Peano addition is based on the following two conditions, given in the original symbolism
(Peano, 1908, p. 29):
Addition I. If a is a number, a +0 = a.
Addition II. If a and b are two numbers, a + (b +) = (a + b) +.
is clear the close analogy that links the introduction of Goodstein
(presented in the previous paragraph) to this one. By implication, therefore, Peano
shows that if a, b are numbers, even a + b is a number (see: Peano,
1908; demonstrations sono riportate in: Carruccio, 1972).
La relazione introdotta da Peano è un'applicazione: a→a+ avente per dominio
l'insieme dei numeri naturali e per codominio l'insieme dei numeri naturali
non nulli, e che è una biiezione. Si può inoltre dimostrare che Peano introduce
nell'insieme dei numeri naturali un ordine stretto.

Possiamo dunque concludere che dall'impostazione peaniana, basata sull'applicazione
che ad ogni numero naturale associa il suo successivo, emerge il
ruolo essenziale del concetto di successione.